Les sauts d'une fonction de répartition

Le saut se lit sur la fonction. Pour tout réel $a$, les événements $[a-\frac{1}{n}<X⩽a]$ décroissent vers $[X=a]$, et leur probabilité vaut $F(a)-F(a-\frac{1}{n})$. Par passage à la limite,

$$P([X=a])=F(a)-\underset{x\to a^{-}}{\lim }F(x),$$

c'est-à-dire la hauteur du saut de $F$ au point $a$.

En $0$. $F(0)=\frac{1}{3}$ et $F(x)=0$ pour tout $x<0$, donc $P([X=0])=\frac{1}{3}$.

En $1$. $F(1)=1$ et ${\lim }_{x\to 1^{-}}F(x)=\frac{1+1}{3}=\frac{2}{3}$, donc $P([X=1])=\frac{1}{3}$.

La probabilité demandée. Directement, $P\left(\right[X⩽\frac{1}{2}\left]\right)=F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3/2}{3}=\frac{1}{2}$.

Le point à retenir. Une fonction de répartition n'est pas forcément celle d'une variable discrète ou d'une variable à densité : elle peut sauter par endroits et croître continûment ailleurs. Les sauts portent ici $\frac{2}{3}$ de la masse, le tiers restant étant étalé sur $[0,1[$.