Les sauts d'une fonction de répartition

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Fonction de répartition · niveau 2

Énoncé

Soit $F$ définie par $F (x) = 0$ si $x < 0$ , $F (x) = \frac{x + 1}{3}$ si $0 ⩽ x < 1$ , et $F (x) = 1$ si $x ⩾ 1$ . C'est la fonction de répartition d'une variable $X$ . Calculer $P ([X = 0])$ , $P ([X = 1])$ et $P ([X ⩽ \frac{1}{2}])$ .

Corrigé

Le saut se lit sur la fonction. Pour tout réel $a$ , les événements $[a - \frac{1}{n} < X ⩽ a]$ décroissent vers $[X = a]$ , et leur probabilité vaut $F (a) - F (a - \frac{1}{n})$ . Par passage à la limite,

$P ([X = a]) = F (a) - x \to a^{-} lim F (x),$

c'est-à-dire la hauteur du saut de $F$ au point $a$ .

En $0$ . $F (0) = \frac{1}{3}$ et $F (x) = 0$ pour tout $x < 0$ , donc $P ([X = 0]) = \frac{1}{3}$ .

En $1$ . $F (1) = 1$ et $lim_{x \to 1^{-}} F (x) = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}$ , donc $P ([X = 1]) = \frac{1}{3}$ .

La probabilité demandée. Directement, $P ([X ⩽ \frac{1}{2}]) = F (\frac{1}{2}) = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$ .

Le point à retenir. Une fonction de répartition n'est pas forcément celle d'une variable discrète ou d'une variable à densité : elle peut sauter par endroits et croître continûment ailleurs. Les sauts portent ici $\frac{2}{3}$ de la masse, le tiers restant étant étalé sur $[0, 1 [$ .

Énoncé

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