Maximum de deux dés

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Maximum et minimum

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à six faces, de résultats $X_{1}$ et $X_{2}$ . Soit $M = max (X_{1}, X_{2})$ . Calculer $P ([M ⩽ k])$ pour $k \in {1, \dots, 6}$ , puis en déduire la loi de $M$ .

Corrigé

La fonction de répartition d'abord. $M ⩽ k$ signifie que les deux dés sont $⩽ k$ . Par indépendance,

$P ([M ⩽ k]) = (\frac{k}{6})^{2} = \frac{k ^{2}}{36} .$

La loi ensuite. $P ([M = k]) = P ([M ⩽ k]) - P ([M ⩽ k - 1]) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36}$ .

Soit $\frac{1}{36}, \frac{3}{36}, \frac{5}{36}, \frac{7}{36}, \frac{9}{36}, \frac{11}{36}$ pour $k = 1$ à $6$ . Leur somme vaut $\frac{36}{36} = 1$ .

La méthode à retenir. Pour un maximum, on passe toujours par la fonction de répartition : « le max est petit » se traduit par une conjonction, donc par un produit. Directement, la loi serait pénible à établir.

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