Minimum de deux dés

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Maximum et minimum

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à six faces, de résultats $X_{1}$ et $X_{2}$ . Soit $m = min (X_{1}, X_{2})$ . Déterminer la loi de $m$ .

Corrigé

Par le complémentaire. $m ⩾ k$ signifie que les deux dés sont $⩾ k$ , donc

$P ([m ⩾ k]) = (\frac{7 - k}{6})^{2} .$

La loi. $P ([m = k]) = P ([m ⩾ k]) - P ([m ⩾ k + 1]) = \frac{( 7 - k ) ^{2} - ( 6 - k ) ^{2}}{36} = \frac{13 - 2 k}{36}$ .

Soit $\frac{11}{36}, \frac{9}{36}, \frac{7}{36}, \frac{5}{36}, \frac{3}{36}, \frac{1}{36}$ pour $k = 1$ à $6$ .

Symétrie. La loi de $m$ est celle de $M$ retournée, ce qui est attendu : $m = 7 - max (7 - X_{1}, 7 - X_{2})$ , et $7 - X_{i}$ suit la même loi que $X_{i}$ .

Contrôle. $E (M) + E (m) = E (X_{1}) + E (X_{2}) = 7$ . On vérifie : $E (M) = \frac{161}{36} \approx 4, 47$ et $E (m) = \frac{91}{36} \approx 2, 53$ , de somme $\frac{252}{36} = 7$ .

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