Quand l'espérance n'existe pas

La constante. La somme des probabilités doit valoir $1$ :

$$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{c}{k^2}=c\times \frac{{\pi }^2}{6}=1,\text{donc}c=\frac{6}{{\pi }^2}\approx 0,6079.$$

(La valeur $\frac{{\pi }^2}{6}$ est hors programme ; il suffit de savoir que la série converge et de nommer sa somme.)

Pas d'espérance. $E(X)$ existerait si $\sum kP([X=k])$ convergeait absolument. Or

$$\sum _{k=1}^{+\infty }k\times \frac{c}{k^2}=c\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k},$$

qui est la série harmonique, divergente. Donc $X$ n'admet pas d'espérance.

Ce qu'il faut en retenir. Une variable aléatoire peut être parfaitement bien définie — sa loi somme à $1$ — sans avoir de moyenne. Le chapitre 7 rencontrera le même phénomène du côté des densités.