Reconstituer une loi à partir de sa fonction de répartition

Lire les valeurs prises. $F$ est constante par morceaux et ne saute qu'en $-1$, $0$ et $2$. Or $F$ est constante sur un intervalle où $X$ ne prend aucune valeur : les seules valeurs possibles de $X$ sont donc $-1$, $0$ et $2$.

Lire les probabilités. La probabilité d'une valeur est la hauteur du saut de $F$ en ce point : $P([X=a])=F(a)-{\lim }_{x\to a^{-}}F(x)$. Ici $$P([X=-1])=0,3-0=0,3,P([X=0])=0,7-0,3=0,4,P([X=2])=1-0,7=0,3.$$

Contrôle. La somme vaut $0,3+0,4+0,3=1$, comme il se doit : $F$ part de $0$ en $-\infty$ et arrive à $1$ en $+\infty$, et la somme des sauts est le total parcouru.

L'espérance. $$E(X)=(-1)\times 0,3+0\times 0,4+2\times 0,3=-0,3+0+0,6=0,3.$$

La probabilité demandée. La formule du cours $P([a<X⩽b])=F(b)-F(a)$ s'applique directement avec $a=-1$ et $b=2$ : $$P([-1<X⩽2])=F(2)-F(-1)=1-0,3=0,7.$$ On le retrouve par la loi : l'événement est $[X=0]\cup [X=2]$, de probabilité $0,4+0,3=0,7$.

Le point délicat. Les inégalités strictes comptent ici : $P([-1⩽X⩽2])$ vaudrait $1$, car l'événement contiendrait aussi $[X=-1]$. Dans le cas discret, chaque borne doit être examinée.