Trois fonctions, une seule est une fonction de répartition

Les trois conditions à vérifier. Une fonction de répartition est croissante, tend vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$. (Elle est de plus continue à droite, propriété qu'on n'utilisera pas ici.)

La fonction $G_1$. Sur $[0,+\infty [$, on écrit $G_1(x)=1-\frac{1}{1+x}$ : comme $x\mapsto \frac{1}{1+x}$ est décroissante sur cet intervalle, $G_1$ est croissante, et elle vaut $0$ en $x=0$, ce qui la raccorde à la partie constante nulle. Enfin $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{G}_1(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{G}_1(x)=1-0=1.$$ Les trois conditions sont remplies : $G_1$ est une fonction de répartition.

La fonction $G_2$. $G_2(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, ce qui est déjà rédhibitoire. Ses limites le confirment : $G_2(x)\to +\infty$ en $-\infty$ et $\to 0$ en $+\infty$ — exactement l'inverse de ce qu'il faut, et $G_2$ prend des valeurs supérieures à $1$. Ce n'est pas une fonction de répartition.

La fonction $G_3$. Elle s'écrit $G_3(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{x}{1+|x|}$. La fonction $x\mapsto \frac{x}{1+|x|}$ est croissante et tend vers $-1$ en $-\infty$, vers $1$ en $+\infty$. Donc $G_3$ est croissante, mais $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{G}_3(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10},\underset{x\to +\infty }{\lim }{G}_3(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}.$$ Les deux limites ne sont ni $0$ ni $1$ : ce n'est pas une fonction de répartition. Le point délicat est que la croissance seule ne suffit jamais — il manque ici une masse de probabilité $\frac{1}{10}$ à chaque extrémité.