Trois vignettes à collectionner

Le découpage. Écrivons $N=N_1+N_2+N_3$, où $N_1$ est le nombre d'achats pour obtenir la première vignette (donc $N_1=1$), $N_2$ le nombre d'achats supplémentaires pour en obtenir une deuxième, distincte de la première, et $N_3$ ceux pour obtenir la troisième. Ce découpage est licite : il ne fait que compter les achats en trois tranches successives.

La deuxième vignette. Une fois la première obtenue, chaque achat donne une vignette nouvelle avec la probabilité $\frac{2}{3}$ — deux des trois vignettes conviennent — indépendamment des précédents. Donc $N_2$ suit une loi géométrique de paramètre $\frac{2}{3}$, et $$E(N_2)=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.$$

La troisième vignette. Une fois deux vignettes distinctes obtenues, chaque achat est nouveau avec la probabilité $\frac{1}{3}$ : $N_3$ suit une loi géométrique de paramètre $\frac{1}{3}$, donc $$E(N_3)=\frac{1}{1/3}=3.$$

La conclusion. Par linéarité de l'espérance — qui ne demande aucune indépendance entre $N_1$, $N_2$, $N_3$ — $$E(N)=E(N_1)+E(N_2)+E(N_3)=1+\frac{3}{2}+3=\frac{11}{2}=5,5.$$

Le point délicat. L'argument « chaque achat est nouveau avec probabilité $\frac{2}{3}$ » relève d'un conditionnement : on se place sachant quelle vignette a été obtenue en premier, et la loi de $N_2$ est la même dans les trois cas. La formule de l'espérance totale donne alors $E(N_2)=\frac{3}{2}$ quel que soit ce premier résultat.

Un contrôle. Il faut au moins $3$ achats, et l'on trouve $5,5>3$ : cohérent. Les dernières vignettes coûtent le plus cher — à elle seule, la troisième demande $3$ achats en moyenne.