Un dé, conditionné par un multiple de trois

L'événement $A$. Les multiples de $3$ dans $\{1,\dots ,6\}$ sont $3$ et $6$, donc $A=\{3,6\}$ et $$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\ne 0,$$ ce qui autorise à conditionner.

Les probabilités conditionnelles. Pour $k\in \{3,6\}$, l'événement $[X=k]$ est inclus dans $A$, donc $$P([X=k]\mid A)=\frac{P([X=k])}{P(A)}=\frac{1/6}{1/3}=\frac{1}{2}.$$ Pour les autres valeurs de $k$, l'intersection avec $A$ est vide et la probabilité conditionnelle est nulle. Sachant $A$, les deux valeurs $3$ et $6$ sont donc équiprobables.

L'espérance conditionnelle. $$E(X/A)=3\times \frac{1}{2}+6\times \frac{1}{2}=\frac{9}{2}=4,5.$$

La comparaison. $$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5.$$ Conditionner a fait passer la moyenne de $3,5$ à $4,5$ : c'est normal, l'information « le résultat est $3$ ou $6$ » écarte les petites valeurs $1$ et $2$.

Ce que « conditionner » veut dire. On restreint l'univers à $A$ et l'on renormalise : les issues hors de $A$ sont oubliées, et celles de $A$ voient leurs probabilités multipliées par $\frac{1}{P(A)}=3$ pour que leur somme fasse de nouveau $1$.