Un dé, puis autant de pièces

Soit $D$ le résultat du dé. La famille $([D=k]{)}_{1⩽k⩽6}$ est un système complet d'événements, chacun de probabilité $\frac{1}{6}$.

Les espérances conditionnelles. Sachant $[D=k]$, on lance $k$ pièces indépendantes de même probabilité $\frac{1}{2}$ : $X$ suit alors la loi binomiale de paramètres $k$ et $\frac{1}{2}$, donc

$$E(X/[D=k])=\frac{k}{2}.$$

La formule de l'espérance totale. La somme est finie : aucune convergence n'est à discuter.

$$E(X)=\sum _{k=1}^6\frac{k}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^6\frac{k}{6}=\frac{1}{2}E(D)=\frac{3,5}{2}=1,75.$$

Le point à retenir. On n'a jamais écrit la loi de $X$, qui n'a rien de simple : $X$ prend ses valeurs de $0$ à $6$ avec des poids qui mélangent six binomiales. La formule de l'espérance totale sert précisément à cela — découper selon la donnée qui rend le modèle simple, puis moyenner les moyennes.