Un mélange de trois lois

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Formule de l'espérance totale

Énoncé

On choisit un entier $I$ dans ${1, 2, 3}$ avec les probabilités $0, 2$ , $0, 5$ , $0, 3$ , puis on tire $X$ uniformément dans ${1, \dots, 2 I}$ . Calculer $E (X)$ .

Corrigé

Le système complet est ${[I = 1], [I = 2], [I = 3]}$ .

Espérances conditionnelles. Sachant $I = i$ , $X$ est uniforme sur ${1, \dots, 2 i}$ , dont l'espérance est $\frac{2 i + 1}{2} = i + \frac{1}{2}$ . Donc

$E (X / [I = 1]) = 1, 5, E (X / [I = 2]) = 2, 5, E (X / [I = 3]) = 3, 5.$

Espérance totale.

$E (X) = 1, 5 \times 0, 2 + 2, 5 \times 0, 5 + 3, 5 \times 0, 3 = 0, 3 + 1, 25 + 1, 05 = 2, 6.$

Autre chemin. $E (X) = E (I + \frac{1}{2}) = E (I) + \frac{1}{2}$ , et $E (I) = 0, 2 + 1 + 0, 9 = 2, 1$ , d'où $E (X) = 2, 6$ . Les deux coïncident — et le second calcul montre que la formule de l'espérance totale n'est ici qu'une façon détournée de dire la linéarité.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.