Un mélange de trois lois

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Formule de l'espérance totale · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On choisit un entier $I$ dans ${1, 2, 3}$ avec les probabilités $0, 2$ , $0, 5$ , $0, 3$ , puis on tire $X$ uniformément dans ${1, \dots, 2 I}$ . Calculer $E (X)$ .

Corrigé

Le système complet est ${[I = 1], [I = 2], [I = 3]}$ .

Espérances conditionnelles. Sachant $I = i$ , $X$ est uniforme sur ${1, \dots, 2 i}$ , dont l'espérance est $\frac{2 i + 1}{2} = i + \frac{1}{2}$ . Donc

$E (X / [I = 1]) = 1, 5, E (X / [I = 2]) = 2, 5, E (X / [I = 3]) = 3, 5.$

Espérance totale.

$E (X) = 1, 5 \times 0, 2 + 2, 5 \times 0, 5 + 3, 5 \times 0, 3 = 0, 3 + 1, 25 + 1, 05 = 2, 6.$

Autre chemin. $E (X) = E (I + \frac{1}{2}) = E (I) + \frac{1}{2}$ , et $E (I) = 0, 2 + 1 + 0, 9 = 2, 1$ , d'où $E (X) = 2, 6$ . Les deux coïncident — et le second calcul montre que la formule de l'espérance totale n'est ici qu'une façon détournée de dire la linéarité.

Énoncé

Corrigé

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