Une attente géométrique qui recommence

La loi de $X$. $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ : pour $k⩾1$, $P([X=k])=q^{k-1}p$ avec $q=1-p$, et $E(X)=\frac{1}{p}$. De plus $P([X>1])=1-P([X=1])=1-p=q$, qui est non nul.

La loi conditionnelle. Pour $k⩾2$, l'événement $[X=k]$ est inclus dans $[X>1]$, donc $[X=k]\cap [X>1]=[X=k]$ et $$P([X=k]\mid [X>1])=\frac{P([X=k])}{P([X>1])}=\frac{q^{k-1}p}{q}=q^{k-2}p.$$ Pour $k=1$, cette probabilité conditionnelle est nulle.

Le changement d'indice. Posons $j=k-1$, qui décrit ${\mathbb{N}}^{\ast }$ quand $k$ décrit $\{2,3,\dots \}$. La relation ci-dessus s'écrit $P([X=j+1]\mid [X>1])=q^{j-1}p$ : sachant $[X>1]$, la variable $X-1$ suit la même loi géométrique de paramètre $p$. Les lancers déjà effectués n'apprennent rien sur la suite.

L'espérance conditionnelle. $$E(X/[X>1])=\sum _{k⩾2}k{q}^{k-2}p=\sum _{j⩾1}(j+1)q^{j-1}p=\sum _{j⩾1}j{q}^{j-1}p+\sum _{j⩾1}{q}^{j-1}p.$$ La première somme est l'espérance d'une loi géométrique de paramètre $p$, soit $\frac{1}{p}$ ; la seconde est la somme de toutes ses probabilités, soit $1$. Donc $$E(X/[X>1])=\frac{1}{p}+1=E(X)+1.$$

L'interprétation. Savoir que le premier lancer a échoué coûte exactement un lancer : ensuite, l'attente moyenne est la même qu'au départ. Le point délicat est la réindexation, qui rend visible ce recommencement.