Une boule transférée d'une urne à l'autre

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Formule de l'espérance totale

Énoncé

L'urne $U_{1}$ contient $3$ boules rouges et $2$ blanches, l'urne $U_{2}$ contient $1$ rouge et $1$ blanche. On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$ , puis on tire une boule au hasard dans $U_{2}$ . Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

Corrigé

Le système complet. Notons $R_{1}$ = « la boule transférée est rouge » et $B_{1}$ = « elle est blanche ». Ces deux événements sont incompatibles et de réunion $Ω$ : c'est un système complet, avec $P (R_{1}) = \frac{3}{5}, P (B_{1}) = \frac{2}{5} .$

Le conditionnement. Notons $R_{2}$ = « la seconde boule tirée est rouge », et $X$ son indicateur — de sorte que $P (R_{2}) = E (X)$ .

Sachant $R_{1}$ , l'urne $U_{2}$ contient $2$ rouges et $1$ blanche, soit $3$ boules : $P (R_{2} ∣ R_{1}) = \frac{2}{3} .$

Sachant $B_{1}$ , elle contient $1$ rouge et $2$ blanches : $P (R_{2} ∣ B_{1}) = \frac{1}{3} .$

La formule. La formule des probabilités totales — qui est la formule de l'espérance totale appliquée à l'indicateur $X$ — donne $P (R_{2}) = P (R_{2} ∣ R_{1}) P (R_{1}) + P (R_{2} ∣ B_{1}) P (B_{1}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} .$

Le calcul. $P (R_{2}) = \frac{6}{15} + \frac{2}{15} = \frac{8}{15} .$

Un contrôle de vraisemblance. Sans transfert, la probabilité serait $\frac{1}{2}$ . Le transfert vient d'une urne où les rouges sont majoritaires ( $\frac{3}{5}$ ), il doit donc favoriser le rouge : $\frac{8}{15} \approx 0, 533 > \frac{1}{2}$ . C'est cohérent.

Le point délicat. Le second tirage n'a pas de loi « en soi » : elle dépend de ce qui s'est passé au premier. C'est exactement la situation où l'on découpe l'univers selon le cas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.