Une espérance par conditionnement

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les variables aléatoires réelles · Formule de l'espérance totale

Énoncé

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir « pile ». Soit $N$ le nombre de lancers. En conditionnant sur le premier lancer, retrouver $E (N)$ .

Corrigé

Soit $A$ = « le premier lancer donne pile », de probabilité $\frac{1}{2}$ .

Sachant $A$ : le jeu s'arrête, $N = 1$ , donc $E (N / A) = 1$ .

Sachant $A ˉ$ : on a perdu un lancer, et tout recommence à l'identique. Le nombre de lancers restants suit la même loi que $N$ , donc $E (N / A ˉ) = 1 + E (N)$ .

La formule. En admettant que $E (N)$ existe,

$E (N) = 1 \times \frac{1}{2} + (1 + E (N)) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{E ( N )}{2},$

d'où $\frac{E ( N )}{2} = 1$ et $E (N) = 2$ .

Contrôle. $N$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{2}$ , dont l'espérance est $\frac{1}{p} = 2$ . Le conditionnement redonne le résultat en trois lignes, sans sommer une série.

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