Une espérance par conditionnement

Soit $A$ = « le premier lancer donne pile », de probabilité $\frac{1}{2}$.

Sachant $A$ : le jeu s'arrête, $N=1$, donc $E(N/A)=1$.

Sachant $\bar{A}$ : on a perdu un lancer, et tout recommence à l'identique. Le nombre de lancers restants suit la même loi que $N$, donc $E(N/\bar{A})=1+E(N)$.

La formule. En admettant que $E(N)$ existe,

$$E(N)=1\times \frac{1}{2}+(1+E(N))\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{E(N)}{2},$$

d'où $\frac{E(N)}{2}=1$ et $E(N)=2$.

Contrôle. $N$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{2}$, dont l'espérance est $\frac{1}{p}=2$. Le conditionnement redonne le résultat en trois lignes, sans sommer une série.