Une espérance sans variance

La constante existe. La série ${\sum }_{k⩾1}\frac{1}{k^3}$ est une série de Riemann d'exposant $3>1$ : elle converge, de somme $S>0$. Le choix $c=\frac{1}{S}$ rend la somme des probabilités égale à $1$.

L'espérance existe. Elle existe si et seulement si ${\sum }_{k⩾1}kP([X=k])$ converge absolument. Or les termes sont positifs et

$$kP([X=k])=\frac{c}{k^2},$$

terme général d'une série de Riemann d'exposant $2>1$ : elle converge. Donc $E(X)$ existe.

La variance n'existe pas. $X$ admet une variance si et seulement si $X^2$ admet une espérance. Par le théorème de transfert,

$$k^{2}P([X=k])=\frac{c}{k},$$

terme général de la série harmonique, qui diverge. Donc $E(X^2)$ n'existe pas, et $X$ n'a pas de variance.

Le point à retenir. Chaque moment supplémentaire coûte un exposant. Une loi en $1/k^{\alpha }$ possède le moment d'ordre $r$ tant que $\alpha -r>1$ : ici $\alpha =3$ autorise l'ordre $1$ et interdit l'ordre $2$. C'est exactement le même compte que pour les densités à queue lourde.