Une fonction de répartition à reconnaître

Compléments sur les variables aléatoires réelles · Fonction de répartition · niveau 2

Énoncé

Soit $F (x) = 0$ si $x < 0$ , $F (x) = x^{2}$ si $0 ⩽ x < 1$ , $F (x) = 1$ si $x ⩾ 1$ . Est-ce une fonction de répartition ? Calculer $P ([0, 3 < X ⩽ 0, 8])$ .

Corrigé

C'en est une. Elle est croissante (sur $[0, 1 [$ car $x \mapsto x^{2}$ y croît, et les raccords se font sans descendre), continue, de limite $0$ en $- \infty$ et $1$ en $+ \infty$ , et à valeurs dans $[0, 1]$ .

La probabilité.

$P ([0, 3 < X ⩽ 0, 8]) = F (0, 8) - F (0, 3) = 0, 64 - 0, 09 = 0, 55.$

Remarque. $F$ étant continue, $P ([X = a]) = 0$ pour tout $a$ : cette variable n'a aucune valeur « atteinte avec probabilité non nulle ». C'est le signe qu'elle est à densité — le chapitre 7 le formalisera, et l'on verra que sa densité est $2 x$ sur $[0, 1]$ .

Énoncé

Corrigé

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