Une loi géométrique déguisée

C'est une loi. Les probabilités sont positives, et leur somme est celle d'une série géométrique de raison $\frac{1}{2}\in \left]0,1\right[$ : $$\sum _{k=1}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{1/2}{1/2}=1.$$ La série converge et vaut $1$ : c'est bien une loi de probabilité.

La reconnaître. En écrivant ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k={\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}\times \frac{1}{2}$, on lit la forme $q^{k-1}p$ avec $p=\frac{1}{2}$ et $q=1-p=\frac{1}{2}$ : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\frac{1}{2}$.

L'espérance. Le cours de première année donne $E(X)=\frac{1}{p}$, donc $$E(X)=\frac{1}{1/2}=2.$$

Le calcul direct, pour contrôle. L'espérance existe si la série ${\sum }_{k}k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ converge, ce qui est le cas — c'est une série géométrique dérivée, de raison $\frac{1}{2}$. Sa somme vaut $$\sum _{k=1}^{+\infty }k{q}^{k-1}p=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1/2}{(1/2{)}^2}=2.$$

L'interprétation. $X$ est le rang du premier « pile » d'une pièce équilibrée : il faut deux lancers en moyenne, ce qui est le résultat attendu.