Une loi sans espérance, obtenue par télescopage

La décomposition clé. Pour tout $k⩾1$, $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$$ comme on le vérifie en réduisant au même dénominateur : $\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$.

La constante $c$. La somme partielle télescope : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\underset{n\to +\infty }{\to }1.$$ La série converge et vaut $1$. La condition ${\sum }_{k}P([X=k])=1$ s'écrit donc $c\times 1=1$, d'où $$c=1.$$ Toutes les probabilités sont alors positives : c'est bien une loi de probabilité.

L'espérance. Elle existe si et seulement si la série ${\sum }_{k}kP([X=k])$ converge (absolument, ce qui est automatique ici, tous les termes étant positifs). Or $$kP([X=k])=\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k+1}.$$

La divergence. La série ${\sum }_{k⩾1}\frac{1}{k+1}$ est, au décalage d'indice près, la série harmonique ${\sum }_{j⩾2}\frac{1}{j}$, dont on sait qu'elle diverge. Donc la série ${\sum }_{k}kP([X=k])$ diverge, et $$X\text{n’admet pas d’espeˊrance}.$$

Le point délicat. Les probabilités décroissent comme $\frac{1}{k^2}$, ce qui suffit largement à faire une loi ; mais la multiplication par $k$ les ramène en $\frac{1}{k}$, tout juste au-delà du seuil de convergence. Une loi parfaitement définie peut n'avoir aucune moyenne.