Une pièce, puis un tirage

Le système complet. Notons $A$ = « pile » et $\overline{A}$ = « face », avec $P(A)=P(\overline{A})=\frac{1}{2}$. C'est un système complet d'événements de probabilités non nulles : la formule de l'espérance totale s'applique.

Les espérances conditionnelles. Sachant $A$, $X$ est uniforme sur $\{1,2,3,4\}$, donc $$E(X/A)=\frac{1}{4}(1+2+3+4)=\frac{10}{4}=2,5.$$ Sachant $\overline{A}$, $X$ vaut $10$ de façon certaine, donc $E(X/\overline{A})=10$.

L'espérance. $$E(X)=E(X/A)P(A)+E(X/\overline{A})P(\overline{A})=2,5\times \frac{1}{2}+10\times \frac{1}{2}=1,25+5=6,25.$$

Le moment d'ordre deux. On applique la même formule à la variable $X^2$, ce qui est licite puisque $X^2$ est encore une variable aléatoire discrète. Sachant $A$ : $$E(X^2/A)=\frac{1}{4}(1+4+9+16)=\frac{30}{4}=7,5,$$ et sachant $\overline{A}$, $E(X^2/\overline{A})=10^2=100$. Donc $$E(X^2)=7,5\times \frac{1}{2}+100\times \frac{1}{2}=3,75+50=53,75.$$

La variance. Par la formule $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ : $$V(X)=53,75-(6,25{)}^2=53,75-39,0625=14,6875.$$

Le point délicat. On n'a jamais écrit la loi de $X$ — qui vaut pourtant $P([X=k])=\frac{1}{8}$ pour $k\in \{1,2,3,4\}$ et $P([X=10])=\frac{1}{2}$. C'est tout l'intérêt du conditionnement : découper l'univers là où $X$ devient simple.