Une queue de loi géométrique

Les deux moments. Pour une loi géométrique de paramètre $p$, le cours de première année donne $$E(X)=\frac{1}{p},V(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$ Avec $p=\frac{1}{3}$ et $q=1-p=\frac{2}{3}$ : $$E(X)=3,V(X)=\frac{2/3}{1/9}=\frac{2}{3}\times 9=6.$$

La queue de la loi. L'événement $[X>2]$ signifie que les deux premières épreuves ont échoué — le premier succès arrive au plus tôt au troisième essai. Les épreuves étant indépendantes et chacune échouant avec la probabilité $q$ : $$P([X>2])=q^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$$

Le calcul par la somme, pour contrôle. $$P([X>2])=\sum _{k⩾3}{q}^{k-1}p=p{q}^2\sum _{j⩾0}{q}^j=p{q}^2\times \frac{1}{1-q}=q^2,$$ puisque $\frac{p}{1-q}=\frac{p}{p}=1$. On retrouve $\frac{4}{9}$.

L'événement contraire. $$P([X⩽2])=1-P([X>2])=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$$ On le vérifie directement : $P([X=1])+P([X=2])=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9}$.

À retenir. Pour une loi géométrique, la formule $P([X>n])=q^n$ est bien plus rapide que la somme, et elle se lit directement sur l'expérience.