Une urne, conditionnée par une propriété du numéro

L'événement $A$. Parmi $1,2,3,4,5,6$, les nombres premiers sont $2$, $3$ et $5$ — $1$ n'est pas premier, $4=2\times 2$ et $6=2\times 3$ ne le sont pas non plus. Donc $A=\{2,3,5\}$ et $$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Les probabilités conditionnelles. Le tirage étant uniforme, chaque numéro a la probabilité $\frac{1}{6}$. Pour $k\in \{2,3,5\}$ : $$P([X=k]\mid A)=\frac{P([X=k])}{P(A)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}.$$ Sachant $A$, les trois valeurs $2$, $3$, $5$ sont équiprobables ; les autres ont une probabilité conditionnelle nulle.

L'espérance conditionnelle. $$E(X/A)=2\times \frac{1}{3}+3\times \frac{1}{3}+5\times \frac{1}{3}=\frac{2+3+5}{3}=\frac{10}{3}.$$

La comparaison. $E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$, tandis que $E(X/A)=\frac{10}{3}\approx 3,33$. L'information a légèrement abaissé la moyenne : elle a écarté $6$, la plus grande valeur, tout en écartant aussi $1$ et $4$.

Le réflexe. Quand le conditionnement rend toutes les issues restantes équiprobables, l'espérance conditionnelle est simplement la moyenne arithmétique des valeurs retenues.