Centrer et réduire

Densité de $Y$. Par la formule de la transformation affine,

$$f_Y(t)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{t-b}{a}\right)=\frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{\left(\frac{t-b}{a}-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right).$$

Réécriture. $\frac{t-b}{a}-\mu =\frac{t-(a\mu +b)}{a}$, donc l'exposant vaut

$$-\frac{(t-(a\mu +b){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}.$$

En posant ${\mu }^{\prime }=a\mu +b$ et ${\sigma }^{\prime }=|a|\sigma$, on reconnaît exactement la densité de $\mathcal{N}({\mu }^{\prime },{\sigma }^{\prime 2})$.

Conclusion. $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$.

Cas particulier. Avec $a=\frac{1}{\sigma }$ et $b=-\frac{\mu }{\sigma }$, on obtient $\mathcal{N}(0,1)$ : c'est la variable centrée réduite, et l'on vient de justifier la manœuvre qu'on emploie à chaque exercice.