De la densité à la fonction de répartition

C'est une densité. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en $0$, et positive puisque l'exponentielle l'est. Pour l'intégrale, on calcule sur un segment puis on passe à la limite : $${\int }_0^A{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-A}\underset{A\to +\infty }{\to }1.$$ L'intégrale converge et vaut $1$ : $f$ est une densité.

La reconnaissance. C'est la densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda =1$ : $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$, donc $E(X)=1$ et $V(X)=1$.

La fonction de répartition. Pour $x<0$, l'intégrale de $-\infty$ à $x$ porte sur une zone où $f$ est nulle : $F_X(x)=0$. Pour $x⩾0$ : $$F_X(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x}.$$ Donc $$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-x}& \text{si }x⩾0.\end{array}$$

La probabilité demandée. $$P([X>1])=1-F_X(1)=1-(1-{\mathrm{e}}^{-1})={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$

Une remarque. Comme $X$ est à densité, $P([X=1])=0$ et les quatre écritures $P(X>1)$, $P(X⩾1)$ donnent la même valeur. C'est un allègement notable par rapport au cas discret.