Deux quantiles pour retrouver une loi normale

On centre et on réduit : $X^{\ast }=\frac{X-\mu }{\sigma }\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$, de fonction de répartition $\Phi$.

La première équation donne $\mu$. La densité de $\mathcal{N}(0,1)$ étant paire, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$. Comme $\Phi$ est strictement croissante donc injective,

$$\Phi \left(\frac{4-\mu }{\sigma }\right)=0,5⟹\frac{4-\mu }{\sigma }=0,\text{soit}\mu =4.$$

La seconde donne $\sigma$. De même, $\Phi \left(\frac{10-4}{\sigma }\right)=\Phi (1,96)$ entraîne $\frac{6}{\sigma }=1,96$, d'où $\sigma =\frac{6}{1,96}\approx 3,06$.

Contrôle. L'intervalle $[\mu -1,96\sigma ,\mu +1,96\sigma ]$ vaut $[-2,10]$, et il doit porter $95\%$ de la masse : en effet, par la relation $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$, $\Phi (1,96)-\Phi (-1,96)=2\times 0,975-1=0,95$.

Le point à retenir. Deux probabilités suffisent à identifier une loi normale, parce qu'elle n'a que deux paramètres. Et toute lecture de table repasse par les mêmes gestes : centrer, réduire, puis lire $\Phi$.