mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 7 · Exercice

Est-ce une densité ?

Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Reconnaître une densité · niveau 1 (application)

Énoncé

La fonction $f (t) = 3 t^{2}$ sur $[0, 1]$ et nulle ailleurs est-elle une densité de probabilité ? Calculer alors $E (X)$ .

Densité. $f$ est continue, positive sur $[0, 1]$ , et

$\int_{0}^{1} 3 t^{2} d t = [t^{3}]_{0}^{1} = 1.$

C'est bien une densité.

Espérance. $E (X) = \int_{0}^{1} t \times 3 t^{2} d t = [\frac{3 t ^{4}}{4}]_{0}^{1} = \frac{3}{4} = 0, 75$ .

Contrôle. La densité croît sur $[0, 1]$ : la masse est concentrée à droite, donc l'espérance doit dépasser le milieu $0, 5$ . C'est le cas.