Fabriquer une loi à partir d'une uniforme

Ce qu'on peut écrire. $F$ étant continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\left]0,1\right[$, elle réalise une bijection, et sa réciproque $F^{-1}:\left]0,1\right[\to \mathbb{R}$ est elle aussi continue et strictement croissante. La variable $X=F^{-1}(U)$ est donc bien définie, $U$ prenant presque sûrement ses valeurs dans $\left]0,1\right[$.

Le calcul. Soit $x\in \mathbb{R}$. Comme $F$ est strictement croissante, l'inégalité $F^{-1}(U)⩽x$ équivaut à $U⩽F(x)$ — on applique $F$ aux deux membres, ce qui préserve le sens de l'inégalité. Donc $$F_X(x)=P([X⩽x])=P([U⩽F(x)])=F_U(F(x)).$$

La conclusion. Or $F(x)$ appartient à $\left]0,1\right[$, et la fonction de répartition de $\mathcal{U}[0,1]$ vaut $F_U(u)=u$ sur cet intervalle. Donc $$F_X(x)=F(x)\text{pour tout }x\in \mathbb{R}.$$ Deux variables de même fonction de répartition ont la même loi : $X$ suit bien la loi de fonction de répartition $F$.

L'application. Prenons $F(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ pour $x>0$, qui est continue et strictement croissante de $\left]0,+\infty \right[$ sur $\left]0,1\right[$. On résout $u=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ : $${\mathrm{e}}^{-\lambda x}=1-u⟺x=-\frac{\ln (1-u)}{\lambda }.$$ Donc, si $U\hookrightarrow \mathcal{U}[0,1]$, la variable $$X=-\frac{\ln (1-U)}{\lambda }$$ suit la loi $\mathcal{E}(\lambda )$.

La portée. C'est le principe de la simulation : un générateur de nombres au hasard entre $0$ et $1$ suffit à produire n'importe quelle loi dont on sait inverser la fonction de répartition.