L'espérance et la variance d'une loi gamma

L'outil. La seule relation nécessaire est $\Gamma (\nu +1)=\nu \Gamma (\nu )$, valable pour tout $\nu >0$, avec $\Gamma (\nu )={\int }_0^{+\infty }{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$.

L'espérance. Par définition, $$E(X)={\int }_0^{+\infty }t\frac{1}{\Gamma (\nu )}{t}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\Gamma (\nu )}{\int }_0^{+\infty }{t}^{\nu }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$ Le point délicat est de reconnaître la dernière intégrale : en écrivant $t^{\nu }=t^{(\nu +1)-1}$, c'est exactement $\Gamma (\nu +1)$, qui converge puisque $\nu +1>0$. Donc l'espérance existe et $$E(X)=\frac{\Gamma (\nu +1)}{\Gamma (\nu )}=\frac{\nu \Gamma (\nu )}{\Gamma (\nu )}=\nu .$$

Le moment d'ordre deux. Le théorème de transfert avec $g(t)=t^2$ donne, par le même mécanisme et en écrivant $t^{\nu +1}=t^{(\nu +2)-1}$ : $$E\left(X^2\right)=\frac{1}{\Gamma (\nu )}{\int }_0^{+\infty }{t}^{\nu +1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{\Gamma (\nu +2)}{\Gamma (\nu )}.$$ En appliquant deux fois la relation de récurrence : $$\Gamma (\nu +2)=(\nu +1)\Gamma (\nu +1)=(\nu +1)\nu \Gamma (\nu ),$$ d'où $E\left(X^2\right)=\nu (\nu +1)$.

La variance. $$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=\nu (\nu +1)-{\nu }^2={\nu }^2+\nu -{\nu }^2=\nu .$$

Le contrôle. Pour $\nu =1$, la densité est ${\mathrm{e}}^{-t}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : c'est la loi exponentielle de paramètre $1$, dont l'espérance et la variance valent bien $1$. La loi $\gamma (\nu )$ est ainsi la seule famille usuelle du chapitre où espérance et variance sont égales.