L'inverse d'une uniforme

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Transformations d'une variable à densité

Énoncé

Soit $U ↪ U [0, 1]$ et $Y = \frac{1}{U}$ , définie presque sûrement. Déterminer une densité de $Y$ , puis montrer que $Y$ n'admet pas d'espérance.

Corrigé

La fonction de répartition. Comme $0 < U ⩽ 1$ presque sûrement, on a $Y ⩾ 1$ , donc $F_{Y} (t) = 0$ pour $t < 1$ . Pour $t ⩾ 1$ , l'inverse étant décroissant sur $] 0, + \infty [$ , l'inégalité $\frac{1}{U} ⩽ t$ équivaut à $U ⩾ \frac{1}{t}$ , et $\frac{1}{t} \in] 0, 1]$ :

$F_{Y} (t) = P ([U ⩾ \frac{1}{t}]) = 1 - \frac{1}{t} .$

Une densité. $F_{Y}$ est continue sur $R$ (elle vaut $0$ des deux côtés de $1$ ) et de classe $C^{1}$ sauf en $1$ . En dérivant,

$f_{Y} (t) = \frac{1}{t ^{2}} si t > 1, f_{Y} (t) = 0 sinon.$

Pas d'espérance. Pour $A > 1$ ,

$\int_{1}^{A} t f_{Y} (t) d t = \int_{1}^{A} \frac{d t}{t} = ln A A \to + \infty + \infty,$

donc l'intégrale $\int t f_{Y} (t) d t$ diverge : $Y$ n'admet pas d'espérance.

Le point délicat. Une transformation strictement monotone se traite toujours par la fonction de répartition, en surveillant le sens de l'inégalité — ici l'inverse la renverse. Et l'on retiendra qu'une variable bornée peut produire, par inversion, une variable sans moyenne.

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