L'inverse d'une uniforme

La fonction de répartition. Comme $0<U⩽1$ presque sûrement, on a $Y⩾1$, donc $F_Y(t)=0$ pour $t<1$. Pour $t⩾1$, l'inverse étant décroissant sur $]0,+\infty [$, l'inégalité $\frac{1}{U}⩽t$ équivaut à $U⩾\frac{1}{t}$, et $\frac{1}{t}\in ]0,1]$ :

$$F_Y(t)=P\left(\right[U⩾\frac{1}{t}\left]\right)=1-\frac{1}{t}.$$

Une densité. $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle vaut $0$ des deux côtés de $1$) et de classe $C^1$ sauf en $1$. En dérivant,

$$f_Y(t)=\frac{1}{t^2}\text{ si }t>1,f_Y(t)=0\text{ sinon.}$$

Pas d'espérance. Pour $A>1$,

$${\int }_1^{A}t{f}_Y(t)\mathrm{d}t={\int }_1^A\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln A\underset{A\to +\infty }{\to }+\infty ,$$

donc l'intégrale $\int t{f}_Y(t)\mathrm{d}t$ diverge : $Y$ n'admet pas d'espérance.

Le point délicat. Une transformation strictement monotone se traite toujours par la fonction de répartition, en surveillant le sens de l'inégalité — ici l'inverse la renverse. Et l'on retiendra qu'une variable bornée peut produire, par inversion, une variable sans moyenne.