L'opposée d'une loi normale centrée réduite

La formule à employer. Pour $Y=aX+b$ avec $a\ne 0$, $$f_Y(t)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{t-b}{a}\right).$$ Ici $a=-1$ et $b=0$, donc $|a|=1$ et $$f_Y(t)=\phi (-t).$$

Le calcul. La densité $\phi$ est paire : pour tout réel $t$, $$\phi (-t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-(-t{)}^2/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-t^2/2}=\phi (t),$$ puisque $(-t{)}^2=t^2$. Donc $f_Y=\phi$ : $Y$ a la même densité que $X$, donc la même loi, $$Y\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1).$$

Un second chemin. Le cours affirme que si $X$ suit une loi normale et $a\ne 0$, alors $aX+b$ suit $\mathcal{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$. Avec $\mu =0$, ${\sigma }^2=1$, $a=-1$, $b=0$ : $$Y\hookrightarrow \mathcal{N}((-1)\times 0,(-1{)}^2\times 1)=\mathcal{N}(0,1).$$ Les deux méthodes concordent.

Une conséquence. L'égalité des lois de $X$ et de $-X$ donne, pour tout réel $x$, $$\Phi (-x)=P([X⩽-x])=P([-X⩽-x])=P([X⩾x])=1-\Phi (x).$$ C'est exactement la relation de symétrie du cours : elle n'est rien d'autre que la parité de la densité.