La fonction gamma

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Lois uniforme, exponentielle et gamma

Énoncé

Calculer $Γ (1)$ , $Γ (2)$ , $Γ (5)$ , puis l'espérance d'une variable de loi $γ (3)$ .

Corrigé

$Γ (1)$ . $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1$ .

Par récurrence. $Γ (2) = 1 \times Γ (1) = 1$ , et $Γ (n + 1) = n!$ donne $Γ (5) = 4! = 24$ .

Espérance d'une $γ (3)$ . Le cours donne $E (X) = ν = 3$ . On le retrouve :

$E (X) = \frac{1}{Γ ( 3 )} \int_{0}^{+ \infty} t^{3} e^{- t} d t = \frac{Γ ( 4 )}{Γ ( 3 )} = \frac{3 !}{2 !} = 3.$

Variance. $E (X^{2}) = \frac{Γ ( 5 )}{Γ ( 3 )} = \frac{24}{2} = 12$ , donc $V (X) = 12 - 9 = 3 = ν$ . Conforme au cours.

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