La fonction gamma et la loi associée

Les deux relations du cours. Pour $\nu >0$, $\Gamma (\nu +1)=\nu \Gamma (\nu )$, et pour $n\in \mathbb{N}$, $\Gamma (n+1)=n!$.

Les deux valeurs. En appliquant directement la seconde relation : $$\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2!=2,\Gamma (6)=\Gamma (5+1)=5!=120.$$ On peut retrouver la première par récurrence : $\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$, puis $\Gamma (2)=1\times \Gamma (1)=1$ et $\Gamma (3)=2\times \Gamma (2)=2$.

L'espérance et la variance. Le cours donne, pour $X\hookrightarrow \gamma (\nu )$, $$E(X)=\nu ,V(X)=\nu .$$ Avec $\nu =4$ : $$E(X)=4,V(X)=4,\sigma (X)=2.$$

Le moment d'ordre deux. La formule $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ se retourne en $$E\left(X^2\right)=V(X)+E(X{)}^2=4+16=20.$$

Une remarque. La loi $\gamma (\nu )$ est la seule des lois usuelles du chapitre pour laquelle espérance et variance sont égales. Pour $\nu =1$, on retrouve la loi exponentielle de paramètre $1$, dont l'espérance et la variance valent $1$ — cohérent.