La médiane d'une loi exponentielle

La fonction de répartition. Le cours donne $F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ pour $t⩾0$, et $F_X(t)=0$ pour $t<0$.

La médiane. On résout $F_X(m)=\frac{1}{2}$ avec $m⩾0$ : $$1-{\mathrm{e}}^{-\lambda m}=\frac{1}{2}⟺{\mathrm{e}}^{-\lambda m}=\frac{1}{2}⟺-\lambda m=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2,$$ d'où $$m=\frac{\ln 2}{\lambda }\approx \frac{0,693}{\lambda }.$$ La solution est unique, $F_X$ étant strictement croissante sur $[0,+\infty [$.

Le quantile d'ordre $0,9$. De même, $$1-{\mathrm{e}}^{-\lambda q}=0,9⟺{\mathrm{e}}^{-\lambda q}=0,1⟺q=\frac{\ln 10}{\lambda }\approx \frac{2,303}{\lambda }.$$

La comparaison. Le cours donne $E(X)=\frac{1}{\lambda }$, donc $$m=\frac{\ln 2}{\lambda }<\frac{1}{\lambda }=E(X),$$ puisque $\ln 2\approx 0,693<1$. La médiane est strictement inférieure à l'espérance.

L'interprétation. La densité $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ décroît vers $0$ sans jamais s'annuler : les grandes valeurs sont rares mais possibles, et elles tirent la moyenne vers le haut sans déplacer autant la médiane. Concrètement, plus de la moitié des attentes sont inférieures à l'attente moyenne — un phénomène qu'on retrouve dans toutes les lois à queue lourde à droite.

Un contrôle. $P([X>q])={\mathrm{e}}^{-\ln 10}=0,1$ : une attente sur dix dépasse $\frac{\ln 10}{\lambda }$, soit environ $2,3$ fois l'attente moyenne.