La valeur absolue d'une uniforme symétrique

La méthode. On ne cherche jamais la densité directement : on passe par la fonction de répartition, puis on dérive.

Les valeurs prises. $X$ est à valeurs dans $[-1,1]$, donc $Y=|X|$ est à valeurs dans $[0,1]$. Ainsi $F_Y(t)=0$ pour $t<0$ et $F_Y(t)=1$ pour $t⩾1$.

Le cas intermédiaire. Pour $t\in [0,1[$, l'inégalité $|X|⩽t$ équivaut à $-t⩽X⩽t$. Donc $$F_Y(t)=P([-t⩽X⩽t])=F_X(t)-F_X(-t).$$ Or la densité de $X$ vaut $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ sur $[-1,1]$, donc pour $x\in [-1,1]$, $$F_X(x)={\int }_{-1}^x\frac{1}{2}\mathrm{d}u=\frac{x+1}{2}.$$ D'où $$F_Y(t)=\frac{t+1}{2}-\frac{-t+1}{2}=\frac{2t}{2}=t.$$

La densité. $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sauf en $0$ et $1$ : $Y$ est à densité, et l'on obtient une densité en dérivant $$f_Y(t)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }0<t<1,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

La reconnaissance. C'est exactement la densité de la loi uniforme sur $[0,1]$ : $$Y\hookrightarrow \mathcal{U}[0,1],E(Y)=\frac{1}{2},V(Y)=\frac{1}{12}.$$

L'interprétation. Replier $[-1,1]$ sur $[0,1]$ en prenant la valeur absolue superpose deux moitiés de même densité $\frac{1}{2}$ : elles s'ajoutent et donnent $1$. L'uniformité est conservée, ce qui n'a rien d'automatique — la transformation $Y=X^2$, elle, ne conserverait pas l'uniformité.