La variance d'une loi exponentielle, démontrée

Ce qu'il faut calculer. La densité de $X$ est $f(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ pour $t⩾0$, nulle ailleurs. Le théorème de transfert donne $$E\left(X^2\right)={\int }_0^{+\infty }{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t,$$ sous réserve de convergence — l'intégrande étant positif, convergence et convergence absolue coïncident.

Le calcul sur un segment. Conformément à la méthode, on intègre d'abord sur $[0,A]$, par parties avec $u(t)=t^2$ et $v^{\prime }(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ : $${\int }_0^A{t}^2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A+{\int }_0^{A}2t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-A^2{\mathrm{e}}^{-\lambda A}+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{A}t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t.$$

Le passage à la limite. Par croissance comparée, $A^2{\mathrm{e}}^{-\lambda A}\to 0$ quand $A\to +\infty$. Quant à la dernière intégrale, elle tend vers $E(X)=\frac{1}{\lambda }$, que l'énoncé autorise à admettre. Donc l'intégrale converge et $$E\left(X^2\right)=\frac{2}{\lambda }\times \frac{1}{\lambda }=\frac{2}{{\lambda }^2}.$$

La variance. $$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2},$$ et l'écart-type vaut $\sigma (X)=\frac{1}{\lambda }=E(X)$.

Le point délicat. L'intégration par parties fait apparaître l'intégrale du rang précédent : c'est ce mécanisme, et non un calcul de primitive nouveau, qui donne le résultat. On le retrouvera pour tous les moments.

Une remarque. Écart-type et espérance sont égaux pour une loi exponentielle : la dispersion est du même ordre que la durée d'attente moyenne.