Le carré d'une variable normale centrée réduite

Les valeurs prises. $Y=X^2⩾0$, donc $F_Y(t)=P([Y⩽t])=0$ pour $t<0$.

Le cas $t>0$. L'inégalité $X^2⩽t$ équivaut, pour $t>0$, à $-\sqrt{t}⩽X⩽\sqrt{t}$ — c'est ici qu'il faut prendre garde : le carré n'est pas monotone, et l'événement se traduit par un encadrement à deux bornes. Donc $$F_Y(t)=P([-\sqrt{t}⩽X⩽\sqrt{t}])=\Phi \left(\sqrt{t}\right)-\Phi (-\sqrt{t}),$$ où $\Phi$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$. La symétrie $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ donne $$F_Y(t)=2\Phi \left(\sqrt{t}\right)-1.$$

La dérivation. $\Phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec ${\Phi }^{\prime }=\phi$, et $t\mapsto \sqrt{t}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\left]0,+\infty \right[$, de dérivée $\frac{1}{2\sqrt{t}}$. Donc, pour $t>0$, $$f_Y(t)=F_Y^{\prime }(t)=2\phi \left(\sqrt{t}\right)\times \frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{\phi \left(\sqrt{t}\right)}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{\mathrm{e}}^{-t/2},$$ en remplaçant $\phi (\sqrt{t})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-t/2}$.

La conclusion. $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ — elle vaut $0$ en $0^{-}$ et $2\Phi (0)-1=0$ en $0^{+}$ — et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ privé de $0$. Donc $Y$ est à densité, et une densité est $$f_Y(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{\mathrm{e}}^{-t/2}& \text{si }t>0,\\ 0& \text{si }t⩽0.\end{array}$$

Une remarque. Cette densité tend vers $+\infty$ quand $t\to 0^{+}$, ce qui est parfaitement licite : une densité n'a aucune raison d'être bornée, seule son intégrale doit valoir $1$.