Le logarithme d'une uniforme

La méthode. La transformation $u\mapsto -\ln u$ n'est pas affine : on passe par la fonction de répartition, jamais par la densité directement.

Pour $t<0$. Comme $U⩽1$, on a $\ln U⩽0$ donc $Y⩾0$ presque sûrement : $F_Y(t)=0$.

Pour $t⩾0$. L'exponentielle étant strictement croissante,

$$[-\ln U⩽t]=[\ln U⩾-t]=[U⩾{\mathrm{e}}^{-t}],$$

et ${\mathrm{e}}^{-t}$ appartient à $]0,1]$. Comme $U$ est uniforme sur $[0,1]$, $P([U⩾a])=1-a$ pour $a\in [0,1]$, d'où

$$F_Y(t)=1-{\mathrm{e}}^{-t}.$$

Conclusion. $F_Y$ est exactement la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $1$, et la fonction de répartition caractérise la loi : $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$.

Le point délicat. Multiplier par $-1$ renverse l'inégalité, et c'est là que l'on se trompe. Cette transformation est la façon standard de fabriquer une durée exponentielle à partir d'un tirage uniforme, celui que fournit un générateur pseudo-aléatoire.