Le logarithme d'une uniforme

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Transformations d'une variable à densité

Énoncé

Soit $U ↪ U [0, 1]$ et $Y = - ln U$ , définie presque sûrement puisque $P ([U = 0]) = 0$ . Déterminer la loi de $Y$ .

Corrigé

La méthode. La transformation $u \mapsto - ln u$ n'est pas affine : on passe par la fonction de répartition, jamais par la densité directement.

Pour $t < 0$ . Comme $U ⩽ 1$ , on a $ln U ⩽ 0$ donc $Y ⩾ 0$ presque sûrement : $F_{Y} (t) = 0$ .

Pour $t ⩾ 0$ . L'exponentielle étant strictement croissante,

$[- ln U ⩽ t] = [ln U ⩾ - t] = [U ⩾ e^{- t}],$

et $e^{- t}$ appartient à $] 0, 1]$ . Comme $U$ est uniforme sur $[0, 1]$ , $P ([U ⩾ a]) = 1 - a$ pour $a \in [0, 1]$ , d'où

$F_{Y} (t) = 1 - e^{- t} .$

Conclusion. $F_{Y}$ est exactement la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $1$ , et la fonction de répartition caractérise la loi : $Y ↪ E (1)$ .

Le point délicat. Multiplier par $- 1$ renverse l'inégalité, et c'est là que l'on se trompe. Cette transformation est la façon standard de fabriquer une durée exponentielle à partir d'un tirage uniforme, celui que fournit un générateur pseudo-aléatoire.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.