mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 7 · Exercice

Loi exponentielle

Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Lois uniforme, exponentielle et gamma · niveau 2

Énoncé

Soit $X ↪ E (0, 5)$ , modélisant une durée d'attente en heures. Calculer $P ([X > 2])$ et $E (X)$ , puis $P ([X > 5] ∣ [X > 3])$ .

Corrigé

Queue. $P ([X > t]) = e^{- 0, 5 t}$ , donc $P ([X > 2]) = e^{- 1} \approx 0, 3679$ .

Espérance. $E (X) = \frac{1}{0 , 5} = 2$ heures.

Conditionnelle. Par absence de mémoire,

$P ([X > 5] ∣ [X > 3]) = P ([X > 2]) = e^{- 1} \approx 0, 3679.$

Vérification directe. $\frac{e ^{- 2, 5}}{e ^{- 1, 5}} = e^{- 1}$ . Les deux chemins concordent — et le second montre pourquoi la propriété tient : le quotient de deux exponentielles ne dépend que de la différence.

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