Loi normale et table

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Loi normale

Énoncé

Soit $X ↪ N (10, 4)$ . Exprimer $P ([X ⩽ 13])$ et $P ([X ⩽ 7])$ à l'aide de $Φ$ , puis les relier.

Corrigé

Ici $μ = 10$ et $σ = 4 = 2$ . En centrant et réduisant, $X^{*} = \frac{X - 10}{2} ↪ N (0, 1)$ .

$P ([X ⩽ 13]) = P (X^{*} ⩽ \frac{3}{2}) = Φ (1, 5), P ([X ⩽ 7]) = Φ (- 1, 5) .$

La relation. $Φ (- 1, 5) = 1 - Φ (1, 5)$ , donc

$P ([X ⩽ 7]) = 1 - P ([X ⩽ 13]) .$

Interprétation. $7$ et $13$ sont symétriques par rapport à $μ = 10$ , à $1, 5$ écart-type de part et d'autre. La symétrie de la cloche fait le reste. Numériquement, $Φ (1, 5) \approx 0, 9332$ , donc les deux probabilités valent $0, 9332$ et $0, 0668$ .

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