Multiplier une exponentielle par une constante

La formule à employer. Si $X$ a pour densité $f_X$ et $Y=aX+b$ avec $a\ne 0$, alors $Y$ est à densité et $$f_Y(t)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{t-b}{a}\right).$$ Ici $a=3$ et $b=0$, donc $f_Y(t)=\frac{1}{3}{f}_X\left(\frac{t}{3}\right)$.

La densité de départ. $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ a pour densité $f_X(u)={\mathrm{e}}^{-u}$ pour $u⩾0$, et $0$ sinon.

Le calcul. La condition $\frac{t}{3}⩾0$ équivaut à $t⩾0$, puisque $3>0$. Donc, pour $t⩾0$ : $$f_Y(t)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-t/3},$$ et $f_Y(t)=0$ pour $t<0$.

La reconnaissance. C'est exactement la forme $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ avec $\lambda =\frac{1}{3}$ : $$Y\hookrightarrow \mathcal{E}\left(\frac{1}{3}\right).$$

Le contrôle par l'espérance. Le cours donne $E(Y)=\frac{1}{1/3}=3$. Or, par linéarité de l'espérance, $E(Y)=3E(X)=3\times 1=3$. Les deux concordent. De même $V(Y)=\frac{1}{(1/3{)}^2}=9$, et $V(3X)=3^{2}V(X)=9\times 1=9$.

À retenir. Multiplier une loi exponentielle par $a>0$ divise son paramètre par $a$ : changer d'unité de temps ne change pas la nature de la loi.