Retrouver une densité à partir de la fonction de répartition

$F$ est une fonction de répartition. Sur $\left]-\infty ,0\right[$ elle est nulle ; sur $[0,+\infty [$, la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$ est décroissante — car $x\mapsto -x^2$ l'est sur ${\mathbb{R}}_{+}$ — donc $F$ y est croissante. En $0$, les deux morceaux valent $0$ : $F$ est continue et croissante sur $\mathbb{R}$. Enfin $$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1-0=1.$$

$X$ est à densité. $F$ est continue sur $\mathbb{R}$, et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ privé du seul point $0$ : sur $\left]-\infty ,0\right[$ comme dérivée nulle, sur $\left]0,+\infty \right[$ par dérivation de $1-{\mathrm{e}}^{-x^2}$. C'est exactement la définition d'une variable à densité.

Une densité. On dérive là où c'est possible : $$f(t)=F^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}2t{\mathrm{e}}^{-t^2}& \text{si }t>0,\\ 0& \text{si }t<0,\end{array}$$ en posant par exemple $f(0)=0$ — la valeur en un point isolé est indifférente. On vérifie la positivité : $2t{\mathrm{e}}^{-t^2}⩾0$ pour $t>0$.

Contrôle de l'intégrale. Sur un segment $[0,A]$, $${\int }_0^{A}2t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\left[-{\mathrm{e}}^{-t^2}\right]}_0^A=1-{\mathrm{e}}^{-A^2}\underset{A\to +\infty }{\to }1.$$ On a bien calculé sur un segment avant de passer à la limite, comme le veut la méthode.

La probabilité demandée. $$P([X>1])=1-F(1)=1-(1-{\mathrm{e}}^{-1})={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$