Tous les moments d'une loi exponentielle

Ce qu'on calcule. La densité de $X$ est $f(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $[0,+\infty [$, nulle ailleurs. Le théorème de transfert ramène la question à l'intégrale $${\int }_0^{+\infty }{t}^n\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t,$$ dont l'intégrande est positif : convergence et convergence absolue coïncident.

Le changement de variable. Posons $u=\lambda t$, de sorte que $t=\frac{u}{\lambda }$ et $\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}u}{\lambda }$. Sur un segment $[0,A]$, ce changement est licite ($\lambda >0$, l'application est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et strictement croissante), et il transforme les bornes $0$ et $A$ en $0$ et $\lambda A$ : $${\int }_0^A{t}^n\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t={\int }_0^{\lambda A}\frac{u^n}{{\lambda }^n}\lambda {\mathrm{e}}^{-u}\frac{\mathrm{d}u}{\lambda }=\frac{1}{{\lambda }^n}{\int }_0^{\lambda A}{u}^n{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u.$$

Le passage à la limite. Quand $A\to +\infty$, la borne $\lambda A$ tend aussi vers $+\infty$, et la dernière intégrale tend vers $${\int }_0^{+\infty }{u}^n{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=\Gamma (n+1),$$ qui converge par définition de la fonction $\Gamma$ pour le paramètre $\nu =n+1>0$. Donc $X^n$ admet une espérance et $$E\left(X^n\right)=\frac{\Gamma (n+1)}{{\lambda }^n}.$$

La conclusion. Le cours donne $\Gamma (n+1)=n!$ pour $n\in \mathbb{N}$, d'où $$E\left(X^n\right)=\frac{n!}{{\lambda }^n}.$$

Les contrôles. Pour $n=0$ : $E(1)=1$, cohérent avec $0!=1$. Pour $n=1$ : $E(X)=\frac{1}{\lambda }$. Pour $n=2$ : $E(X^2)=\frac{2}{{\lambda }^2}$, d'où $V(X)=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$. Les trois concordent avec le cours.