Trois espérances par le théorème de transfert

L'outil. $X$ a pour densité $f(t)=1$ sur $[0,1]$ et $0$ ailleurs. Le théorème de transfert affirme que, pour $g$ continue sur $\left]0,1\right[$, la variable $g(X)$ admet une espérance si et seulement si ${\int }_0^{1}g(t)f(t)\mathrm{d}t$ converge absolument, et qu'alors $$E(g(X))={\int }_0^{1}g(t)\mathrm{d}t.$$ Ici les trois fonctions $g$ sont continues sur le segment $[0,1]$ : les intégrales convergent, il n'y a rien à discuter.

Le premier calcul. Avec $g(t)=t^3$ : $$E\left(X^3\right)={\int }_0^1{t}^3\mathrm{d}t={\left[\frac{t^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{4}.$$

Le deuxième. Avec $g(t)=\frac{1}{1+t}$, dont une primitive est $\ln (1+t)$ : $$E\left(\frac{1}{1+X}\right)={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=[\ln (1+t){]}_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0,693.$$

Le troisième. Avec $g(t)={\mathrm{e}}^t$ : $$E\left({\mathrm{e}}^X\right)={\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=[{\mathrm{e}}^t{]}_0^1=\mathrm{e}-1\approx 1,718.$$

Le piège à éviter. On n'a pas $E(g(X))=g(E(X))$ : ici $E(X)=\frac{1}{2}$, alors que $$g(E(X))={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\ne \frac{1}{4},\frac{1}{1+1/2}=\frac{2}{3}\approx 0,667\ne \ln 2,{\mathrm{e}}^{1/2}\approx 1,649\ne \mathrm{e}-1.$$ L'égalité n'a lieu que pour les fonctions affines. C'est précisément ce que le transfert permet de calculer correctement.