Un intervalle à deux écarts-types

Centrer et réduire. Ici $\mu =2$ et ${\sigma }^2=9$, donc $\sigma =3$. Le cours affirme que $$X^{\ast }=\frac{X-2}{3}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1).$$

La première probabilité. L'événement $[|X-2|⩽6]$ s'écrit $\left[\left|\frac{X-2}{3}\right|⩽2\right]$, c'est-à-dire $[-2⩽X^{\ast }⩽2]$. Donc $$P([|X-2|⩽6])=\Phi (2)-\Phi (-2).$$ La symétrie de la loi normale centrée réduite donne $\Phi (-2)=1-\Phi (2)$, d'où $$P([|X-2|⩽6])=\Phi (2)-(1-\Phi (2))=2\Phi (2)-1.$$

La valeur. $$2\times 0,9772-1=1,9544-1=0,9544.$$ Environ $95,4\%$ des valeurs sont à moins de deux écarts-types de la moyenne : c'est un repère à connaître, valable pour toute loi normale.

La seconde probabilité. $[X⩽-4]$ s'écrit $\left[\frac{X-2}{3}⩽\frac{-4-2}{3}\right]=[X^{\ast }⩽-2]$, donc $$P([X⩽-4])=\Phi (-2)=1-\Phi (2)=1-0,9772=0,0228.$$

Le contrôle. Par symétrie, $P([X⩾8])$ vaut également $0,0228$, et $$0,0228+0,9544+0,0228=1.$$ Les deux queues et le centre se recomposent bien. Le point délicat est de ne jamais oublier de diviser par $\sigma =3$, et non par ${\sigma }^2=9$.