Une attente exponentielle

La fonction de répartition. Pour $\mathcal{E}(\lambda )$ avec $\lambda =2$, le cours donne $$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-2x}& \text{si }x⩾0.\end{array}$$

La première probabilité. $$P([X>1])=1-F_X(1)={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$ Il y a donc environ $13,5\%$ de chances d'attendre plus d'une heure.

La seconde. $$P([X⩽0,5])=F_X(0,5)=1-{\mathrm{e}}^{-2\times 0,5}=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632.$$ Près de deux fois sur trois, l'attente est inférieure à une demi-heure.

L'espérance et la variance. Le cours donne $$E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{2}=0,5\text{heure},V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{4}.$$ L'écart-type vaut $\sigma (X)=\frac{1}{2}$, égal à l'espérance — c'est une propriété de toute loi exponentielle.

Un contrôle par l'absence de mémoire. Le cours affirme $P([X>s+t]\mid [X>s])=P([X>t])$. Vérifions avec $s=t=1$ : $$\frac{P([X>2])}{P([X>1])}=\frac{{\mathrm{e}}^{-4}}{{\mathrm{e}}^{-2}}={\mathrm{e}}^{-2}=P([X>1]).$$ Avoir déjà attendu une heure n'apprend rien sur ce qui reste à attendre.