mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 7 · Exercice

Une densité à paramètre

Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Reconnaître une densité · niveau 2

Énoncé

Pour quelle valeur de $c$ la fonction $f (t) = c e^{- 3 t}$ sur $[0, + \infty [$ , nulle ailleurs, est-elle une densité ? Quelle loi reconnaît-on ?

$\int_{0}^{+ \infty} c e^{- 3 t} d t = \frac{c}{3} = 1 ⟹ c = 3.$

On reconnaît la densité de la loi exponentielle de paramètre $3$ . Donc $E (X) = \frac{1}{3}$ et $V (X) = \frac{1}{9}$ .

Le réflexe. Devant $c e^{- λ t}$ sur $[0, + \infty [$ , la condition d'intégrale $1$ impose toujours $c = λ$ : la constante n'est jamais libre.