Une densité à paramètre

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Reconnaître une densité

Énoncé

Pour quelle valeur de $c$ la fonction $f (t) = c e^{- 3 t}$ sur $[0, + \infty [$ , nulle ailleurs, est-elle une densité ? Quelle loi reconnaît-on ?

Corrigé

$\int_{0}^{+ \infty} c e^{- 3 t} d t = \frac{c}{3} = 1 ⟹ c = 3.$

On reconnaît la densité de la loi exponentielle de paramètre $3$ . Donc $E (X) = \frac{1}{3}$ et $V (X) = \frac{1}{9}$ .

Le réflexe. Devant $c e^{- λ t}$ sur $[0, + \infty [$ , la condition d'intégrale $1$ impose toujours $c = λ$ : la constante n'est jamais libre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.