Une densité à queue lourde

C'est une densité. $f$ est positive et continue sauf en $1$. Pour $A>1$,

$${\int }_1^A\frac{2}{t^3}\mathrm{d}t=[-\frac{1}{t^2}{]}_1^A=1-\frac{1}{A^2}\underset{A\to +\infty }{\to }1.$$

L'intégrale converge et vaut $1$.

L'espérance existe. L'intégrande $tf(t)$ étant positif, la convergence simple suffit :

$${\int }_1^{A}tf(t)\mathrm{d}t={\int }_1^A\frac{2}{t^2}\mathrm{d}t=[-\frac{2}{t}{]}_1^A=2-\frac{2}{A}\underset{A\to +\infty }{\to }2,$$

donc $E(X)=2$.

La variance n'existe pas. L'existence de la variance équivaut à celle de $E(X^2)$. Or, par le théorème de transfert,

$${\int }_1^A{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t={\int }_1^A\frac{2}{t}\mathrm{d}t=2\ln A\underset{A\to +\infty }{\to }+\infty .$$

L'intégrale diverge : $X$ n'a pas de moment d'ordre $2$, donc pas de variance.

Le point à retenir. Seul le comportement en $+\infty$ décide. Une densité en $t^{-\alpha }$ donne le moment d'ordre $r$ tant que $\alpha -r>1$ : ici $\alpha =3$ autorise l'ordre $1$ et interdit l'ordre $2$.