Une densité constante sur un segment

La constante. La condition d'intégrale unité s'écrit $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t={\int }_3^{7}c\mathrm{d}t=c\times (7-3)=4c=1,$$ donc $$c=\frac{1}{4}.$$ Cette valeur est positive, et $f$ est continue sauf en $3$ et $7$ : les trois conditions d'une densité sont remplies.

La reconnaissance. Une densité constante sur un segment $[a,b]$, nulle ailleurs, et valant $\frac{1}{b-a}$, est celle de la loi uniforme sur ce segment. Ici $a=3$, $b=7$ et $\frac{1}{7-3}=\frac{1}{4}=c$ : donc $$X\hookrightarrow \mathcal{U}[3,7].$$

L'espérance et la variance. Le cours donne, pour $\mathcal{U}[a,b]$, $$E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{3+7}{2}=5,V(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.$$

Le contrôle de l'espérance. On peut la recalculer : $$E(X)={\int }_3^7\frac{t}{4}\mathrm{d}t=\frac{1}{4}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_3^7=\frac{49-9}{8}=\frac{40}{8}=5.$$ C'est aussi le milieu de $[3,7]$, ce qui était prévisible : la densité est symétrique par rapport à ce point.

L'écart-type. $\sigma (X)=\sqrt{\frac{4}{3}}\approx 1,15$, à comparer à la longueur $4$ de l'intervalle.