Une densité en forme de cloche polynomiale

La constante. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $0$ et $2$, et positive sur $[0,2]$ dès que $c>0$ — le produit $t(2-t)$ y est positif. Reste à imposer une intégrale égale à $1$ : $${\int }_0^{2}t(2-t)\mathrm{d}t={\int }_0^2(2t-t^2)\mathrm{d}t={\left[t^2-\frac{t^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$ Donc $c\times \frac{4}{3}=1$, soit $$c=\frac{3}{4}.$$

L'espérance. Par définition, $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }tf(t)\mathrm{d}t$, et l'intégrale porte en fait sur $[0,2]$ où $f$ n'est pas nulle ; elle converge, l'intervalle étant borné et la fonction continue. $$E(X)=\frac{3}{4}{\int }_0^2(2t^2-t^3)\mathrm{d}t=\frac{3}{4}{\left[\frac{2t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right]}_0^2=\frac{3}{4}\left(\frac{16}{3}-4\right)=\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}=1.$$

Le contrôle par la symétrie. $f(2-t)=\frac{3}{4}(2-t)t=f(t)$ : la densité est symétrique par rapport à $t=1$. L'espérance devait donc valoir $1$, ce que le calcul confirme.

Le moment d'ordre deux. Par le théorème de transfert appliqué à $g(t)=t^2$ : $$E(X^2)=\frac{3}{4}{\int }_0^2(2t^3-t^4)\mathrm{d}t=\frac{3}{4}{\left[\frac{t^4}{2}-\frac{t^5}{5}\right]}_0^2=\frac{3}{4}\left(8-\frac{32}{5}\right)=\frac{3}{4}\times \frac{8}{5}=\frac{6}{5}.$$

La variance. $$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}.$$ L'écart-type vaut $\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,45$, ce qui est cohérent avec une variable confinée dans un intervalle de longueur $2$.