Une densité en toit

C'est une densité. $f$ est positive, continue sur $\mathbb{R}$, et

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}t\mathrm{d}t+{\int }_1^2(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}+[2t-\frac{t^2}{2}{]}_1^2=\frac{1}{2}+2-\frac{3}{2}=1.$$

L'espérance. $E(X)=\int tf(t)\mathrm{d}t$, l'intégrale étant à termes positifs sur un segment donc absolument convergente :

$$E(X)={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t+{\int }_1^{2}t(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}+[t^2-\frac{t^3}{3}{]}_1^2=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=1.$$

C'est ce qu'annonçait la symétrie de $f$ autour de $t=1$.

La variance. Par le théorème de transfert appliqué à $g(t)=t^2$ :

$$E(X^2)={\int }_0^1{t}^3\mathrm{d}t+{\int }_1^2{t}^2(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{4}+[\frac{2t^3}{3}-\frac{t^4}{4}{]}_1^2=\frac{1}{4}+\frac{11}{12}=\frac{7}{6}.$$

Donc $V(X)=\frac{7}{6}-1^2=\frac{1}{6}\approx 0,167$, par la formule de Koenig-Huygens.

Le point à retenir. Une densité par morceaux se traite morceau par morceau, et sa symétrie autour d'un point donne l'espérance sans calcul — mais jamais la variance.