Une densité obtenue par une intégration par parties

Continuité et positivité. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (les deux morceaux se raccordent en $0$, où ils valent $0$) et positive, ${\lambda }^2$, $t$ et ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ étant positifs sur $[0,+\infty [$.

L'intégrale vaut $1$. On calcule sur le segment $[0,A]$, par parties avec $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)={\lambda }^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, donc $v(t)=-\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ : $${\int }_0^A{\lambda }^{2}t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=[-\lambda t{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A+{\int }_0^A\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=-\lambda A{\mathrm{e}}^{-\lambda A}+[-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{]}_0^A.$$ Quand $A\to +\infty$, le terme $\lambda A{\mathrm{e}}^{-\lambda A}$ tend vers $0$ par croissance comparée, et le crochet vers $1$. Donc l'intégrale converge et vaut $1$ : $f$ est une densité.

L'espérance. Par définition, $E(X)={\int }_0^{+\infty }{\lambda }^2{t}^2{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$, tous les termes étant positifs — la convergence absolue équivaut à la convergence. Le changement de variable $u=\lambda t$, de différentielle $\mathrm{d}u=\lambda \mathrm{d}t$, donne $$E(X)={\int }_0^{+\infty }{\lambda }^2\frac{u^2}{{\lambda }^2}{\mathrm{e}}^{-u}\frac{\mathrm{d}u}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{+\infty }{u}^2{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{\Gamma (3)}{\lambda }=\frac{2!}{\lambda }=\frac{2}{\lambda }.$$

Le moment d'ordre deux. Le même changement de variable donne $$E(X^2)={\int }_0^{+\infty }{\lambda }^2{t}^3{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=\frac{1}{{\lambda }^2}{\int }_0^{+\infty }{u}^3{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{\Gamma (4)}{{\lambda }^2}=\frac{3!}{{\lambda }^2}=\frac{6}{{\lambda }^2}.$$

La variance. $$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{6}{{\lambda }^2}-\frac{4}{{\lambda }^2}=\frac{2}{{\lambda }^2}.$$

Une lecture. Pour $\lambda =1$, on reconnaît la loi $\gamma (2)$, d'espérance $2$ et de variance $2$.