Une loi uniforme sur un long intervalle

La densité. Pour $\mathcal{U}[a,b]$, la densité vaut $\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$ et $0$ ailleurs. Ici $$f_X(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}& \text{si }t\in [0,10],\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

La première probabilité. Une probabilité est l'aire sous la densité : $$P([X⩽3])={\int }_0^3\frac{1}{10}\mathrm{d}t=\frac{3}{10}=0,3.$$ On peut aussi le lire comme un rapport de longueurs : $\frac{3-0}{10-0}$.

La seconde. $$P([4⩽X⩽9])={\int }_4^9\frac{1}{10}\mathrm{d}t=\frac{9-4}{10}=\frac{1}{2}.$$ Pour une loi uniforme, la probabilité d'un sous-intervalle ne dépend que de sa longueur, pas de sa position — c'est exactement ce que « uniforme » veut dire.

L'espérance et la variance. Le cours donne $$E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+10}{2}=5,V(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}\approx 8,33.$$ L'écart-type vaut $\sigma (X)=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,89$.

Un contrôle. $E(X)=5$ est le milieu de $[0,10]$, conformément à la symétrie de la densité. Et l'écart-type, environ $2,9$, est de l'ordre du quart de la longueur de l'intervalle : les valeurs sont largement dispersées, ce qui est cohérent.